Versuchspläne


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Mit einer Versuchsplanung sollen die Wirkungen von mehreren Einflussparametern auf eine Zielgröße eindeutig bestimmbar sein und mögliche Wechselwirkungen erkannt werden.
Die Aufgabe ist es, Versuche so zu kombinieren, dass die Zusammenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiederge-geben  werden können. Es gibt Einflussgrößen, die gezielt variiert werden können, aber auch oft Störgrößen.

Möchte man nur die einzelnen Einflüsse von Faktoren auf eine Zielgröße bestimmen, so sind diese unabhängig voneinander zu variieren. Die Anzahl der Versuche entspricht der Anzahl der Faktoren+1. Gibt es z.B. 3 Faktoren, so sind diese, wie in der nebenstehenden Anordnung zu kombinieren.

 

 

 

 

Eine wichtige Information, nämlich die über die sogenannten Wechselwirkungen lassen sich damit jedoch nicht bestimmen. Eine Wechselwirkung ist der unterschiedliche Einfluss eines Faktors auf die Zielgröße bei unterschiedlicher Einstellung der anderen Faktoren. Es gibt einen gegenseitigen Einfluss. Diese Wechselwirkungen lassen sich vollständig nur mit Hilfe des vollfaktoriellen Versuchsplanes ermitteln.

 

Vollfaktorieller Versuchsplan

Ein vollfaktorieller Versuchsplan entsteht, wenn alle möglichen Einstellungen der Faktoren miteinander kombiniert werden. Es sind also alle Ecken besetzt. Die Anzahl der hierfür benötigten Versuche ist mit p=Anzahl der Faktoren und je zwei Einstellungen:

.


Bei 3 Faktoren ergeben sich also 8 Versuche.

Allgemein erstellt man einen vollfaktoriellen Plan (normiert –1 und 1) einfach auf folgende Weise: Beginnend in der ersten Spalte wird alternierend
–1, 1, -1 usw. geschrieben. In der nächsten Spalte schreibt man mit doppelter Häufigkeit alternierend -1,-1, 1, 1,-1,-1 usw. In der dritten Spalte wiederum mit doppelter Häufigkeit, wie in der vorhergehenden, bis alle Faktoren belegt sind.

 

 

A

B

C

D

E

F

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

1

-1

-1

-1

-1

-1

3

-1

1

-1

-1

-1

-1

4

1

1

-1

-1

-1

-1

5

-1

-1

1

-1

-1

-1

6

1

-1

1

-1

-1

-1

7

-1

1

1

-1

-1

-1

8

1

1

1

-1

-1

-1

9

-1

-1

-1

1

-1

-1

10

1

-1

-1

1

-1

-1

11

-1

1

-1

1

-1

-1

12

1

1

-1

1

-1

-1

13

-1

-1

1

1

-1

-1

14

1

-1

1

1

-1

-1

15

-1

1

1

1

-1

-1

16

1

1

1

1

-1

-1

17

-1

-1

-1

-1

1

-1

18

1

-1

-1

-1

1

-1

 

Der Versuchsplan lässt sich einfach durch die Tabellenfunktion

=(-1)^AUFRUNDEN(ZEILE()/2^(SPALTE()-1);0)

erzeugen (Formel in A1 eingeben und mit der Maus bei gedrückter Strg-Taste über den Bereich ziehen).

Der Vorteil des vollständigen Versuchsplans ist, dass sich alle Wechselwirkungen erklären lassen. So ist der Einfluss von A*B*C ebenso enthalten. Die Anzahl der Versuche nimmt mit der Anzahl der Faktoren jedoch schnell sehr stark zu, sodass ab ca. 5 Faktoren der Versuchsplan in der Praxis zu aufwendig wird. Es stellt sich die Frage, wie man ihn  vereinfachen kann. Die höchste Wechselwirkung hat in den meisten Fällen einen nur untergeordneten Einfluss. Verzichtet man auf diese Aussage, so kann man anstelle der Kombination, die A*B*C enthält, einen weiteren Faktor setzen und man erhält einen teilfaktoriellen Versuchsplan(fraktional faktoriell). Dieser ist immer halb so groß, wie der vollfaktorielle:

 

 

Teilfaktorieller Versuchsplan

Die Anzahl der Versuche berechnet sich durch: .Man bildet diesen Versuchplan zunächst wie den vollfaktoriellen, jedoch mit einem Faktor weniger. Die Einstellungen des fehlenden Faktors werden durch das Produkt aller anderen Faktoren gebildet.

Für p=4 ergibt sich somit n=8, gegenüber n=16 für den vollfaktoriellen Versuch. Ein  Versuchsplan sieht entsprechend wie oben dargestellt aus. Die Spalte D ergibt sich durch die Multiplikation von A*B*C.

 

A

B

C

D

1

-1

-1

-1

-1

2

1

-1

-1

1

3

-1

1

-1

1

4

1

1

-1

-1

5

-1

-1

1

1

6

1

-1

1

-1

7

-1

1

1

-1

8

1

1

1

1


Der Nachteil dieses Versuchsplanes ist, dass keine Dreifachwechselwirkungen mehr bestimmbar sind, und Zweifachwechselwirkungen miteinander vermengt sind: AB mit CD, AC mit BD und AD mit BC, da die jeweiligen Spaltenprodukte identisch sind. Dieser Versuchsplan eignet sich immer dann, wenn Dreifachwechselwirkungen vernachlässigt werden können und einer der vier Faktoren keine Zweifachwechselwirkung mit den anderen Faktoren aufweist. Dieser Faktor ist dann auch ein sogenannter Blockfaktor (z.B. Materialcharge oder unterschiedlicher Tag der Versuchsdurchführung)

 

Versuchsplan vollfaktoriell quadratisch

In den vorhergehenden Versuchsplänen lassen sich nur lineare Beziehungen abbilden. In  vielen Fällen existieren jedoch auch nichtlinear Verläufe. Um dies zu berücksichtigen, wird im Versuchsplan jeweils eine zusätzliche Information benötigt. Für die normierten Faktoreinstellungen heißt das –1, 0 und 1. Betrachtet man zunächst nur die Faktoren ohne die Bestimmung der Wechselwirkungen, so ergibt sich das folgende Bild.

 

 

Aufgrund der 3-fachen Variation der Faktoren bestimmt sich die Anzahl der Versuche zu:

 

Weiterführende Beschreibungen


www.versuchsmethoden.de/Systemanalyse_14.pdf
www.versuchsmethoden.de/D-Optimal.pdf
www.versuchsmethoden.de/Definitive_Screening_Designs.pdf
www.versuchsmethoden.de/Zentralpunkte.pdf
www.versuchsmethoden.de/Multiple_Regression.pdf

Empfohlene Software Visual-XSel 

Mit Visual-XSel können alle wichtigen Versuchspläne erstellt  und  ausgewertet werden.